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Una mwcaspirale, in mwcqmatematica, è una mwcgcurva che si avvolge attorno a un determinato mwcwpunto centrale o asse, avvicinandosi o allontanandosi progressivamente, a seconda di come si percorre la curva.

• Spirali a due dimensioni

• Lunghezza

• Spirali a tre dimensioni

• Spirale sferica

• Simbolismo

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Una spirale a mweadue dimensioni può essere descritta usando le mweqcoordinate polari e imponendo che il mwegraggio mwew r {\displaystyle r} sia una mwfafunzione continua e mwfqmonotona di mwfg θ θ {\displaystyle \theta } . Il cerchio sarebbe visto come un caso degenere (essendo la funzione non strettamente monotona, ma costante).

Alcuni dei tipi di spirali bidimensionali più importanti includono:

• La mwggspirale archimedea: mwgw r = a + b θ θ {\displaystyle r=a+b\theta }

• La mwhqspirale di Cornu o mwhgclotoide

• La mwiaspirale di Fermat: mwiq r = θ θ {\displaystyle r={\sqrt {\theta }}}

• La mwiwspirale iperbolica: mwja r = a / θ θ {\displaystyle r=a/\theta }

• Il mwjglituo: mwjw r = 1 / θ θ {\displaystyle r=1/{\sqrt {\theta }}}

• La mwkqspirale logaritmica: mwkg r = a b θ θ {\displaystyle r=ab^{\theta }} ; approssimazioni di questa curva si ritrovano in natura.

Nota la funzione mwlq r ( θ θ ) {\displaystyle r(\theta )} con la quale varia il modulo del vettore posizione, è possibile parametrizzare la curva nel piano mwlg X Y {\displaystyle XY} con le coordinate polari mwlw ( x , y ) = ( r cos ⁡ ⁡ θ θ , r sin ⁡ ⁡ θ θ ) {\displaystyle (x,y)=(r\cos {\theta },r\sin {\theta })} , e quindi svolgere l'integrale curvilineo per determinare la lunghezza mwma l {\displaystyle l} della curva mwmq C = ( r cos ⁡ ⁡ θ θ , r sin ⁡ ⁡ θ θ ) {\displaystyle C=(r\cos {\theta },r\sin {\theta })} , in cui ricordiamo che mwmg r = f ( θ θ ) {\displaystyle r=f(\theta )} :

mwnq l = ∫ ∫ θ θ 1 θ θ 2 | C ′ ( θ θ ) | d θ θ . {\displaystyle l=\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}|C'(\theta )|\mathrm {d} \theta .}

Derivando la funzione mwnw C {\displaystyle C} abbiamo che

mwog C ′ ( θ θ ) = ( r ′ ( θ θ ) cos ⁡ ⁡ θ θ − − r ( θ θ ) sin ⁡ ⁡ θ θ , r ′ ( θ θ ) sin ⁡ ⁡ θ θ + r ( θ θ ) cos ⁡ ⁡ θ θ ) , {\displaystyle C'(\theta )=(r'(\theta )\cos {\theta }-r(\theta )\sin {\theta },r'(\theta )\sin {\theta }+r(\theta )\cos {\theta }),}

e prendendone il modulo:

mwpg | C ′ ( θ θ ) | = ( r ′ ( θ θ ) cos ⁡ ⁡ θ θ − − r ( θ θ ) sin ⁡ ⁡ θ θ ) 2 + ( r ′ ( θ θ ) sin ⁡ ⁡ θ θ + r ( θ θ ) cos ⁡ ⁡ θ θ ) 2 = r ′ 2 ( θ θ ) ( cos 2 ⁡ ⁡ θ θ + sin 2 ⁡ ⁡ θ θ ) + r 2 ( θ θ ) ( cos 2 ⁡ ⁡ θ θ + sin 2 ⁡ ⁡ θ θ ) = r ′ 2 ( θ θ ) + r 2 ( θ θ ) . {\displaystyle |C'(\theta )|={\sqrt {(r'(\theta )\cos {\theta }-r(\theta )\sin {\theta })^{2}+(r'(\theta )\sin {\theta }+r(\theta )\cos {\theta })^{2}}}={\sqrt {r'^{2}(\theta )(\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta })+r^{2}(\theta )(\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta })}}={\sqrt {r'^{2}(\theta )+r^{2}(\theta )}}.}

Integrando quindi tra gli angoli mwqa θ θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} e mwqq θ θ 2 {\displaystyle \theta _{2}} l'espressione trovata, che sarebbe il modulo della tangente alla curva spirale, si ottiene la lunghezza della curva stessa:

mwra l = ∫ ∫ θ θ 1 θ θ 2 r 2 ( θ θ ) + r ′ 2 ( θ θ ) d θ θ . {\displaystyle l=\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {r^{2}(\theta )+r'^{2}(\theta )}}\mathrm {d} \theta .}

Come nel caso bidimensionale, mwrw r {\displaystyle r} è una mwsafunzione continua e mwsqmonotona di mwsg θ θ {\displaystyle \theta } . Nel caso di spirali tridimensionali semplici la terza variabile, mwsw h {\displaystyle h} (l'altezza) è una funzione continua e monotona di mwta θ θ {\displaystyle \theta } , mentre nel caso di spirali tridimensionali composte, come la mwtqspirale sferica descritta sotto, mwtg h {\displaystyle h} aumenta con mwtw θ θ {\displaystyle \theta } da un lato rispetto a un punto dato, e ne diminuisce dall'altro lato.

L'mwuqelica e il mwugvortice possono essere visti come tipi di spirale mwuwtridimensionali.

Una mwvgspirale sferica (mwvwlossodromia) è la curva su una sfera tracciata da una nave che viaggia da un polo a un altro mantenendo un mwwaangolo fisso (ma non un angolo retto) rispetto ai meridiani, cioè mantenendo la stessa direzione. La curva ha infinite rivoluzioni, con distanza decrescente man mano che si avvicina a ciascuno dei poli.

Le spirali compaiono come motivo ornamentale comune su pietra e ceramica già nella mwwwPreistoria. Esempi si possono trovare nella ceramica del mwxaNeolitico, ma anche nelle prime civiltà dell'Egitto, di Creta e della Cina. In Europa i motivi a spirale sono diffusi dalle culture megalitiche attraverso l'mwxqEtà del Bronzo fino alla prima mwxgEtà del Ferro, nonché tra i Celti e le tribù germaniche e compaiono anche sulla ceramica iberica.

Nella mwyacultura minoica e di quella mwyqmicenea, il significato della spirale è collegato a quello del mwyglabirinto e rimanda all'idea di energia e di evoluzionecite-ref-1[1].

Le spirali trasmettono un'idea di infinito, ma possono anche avere lo scopo di scongiurare il male (apotropaico) o addirittura servire come mwaasimbolo tribalecite-ref-2[2]

Nel mwhgDizionario massonico è indicato che la spirale "simboleggia l'esistenza dell'uomo e il suo ritorno all'origine...raffigura la potenza dinamica dell'universo, il mwhwG.A.D.U.". Essa rappresenta il percorso di fede mwiamassonico.cite-ref-3[3]

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• mwaqcSpirale logaritmica

• mwaqkSpirale archimedea

• mwaqsSpirale iperbolica

• mwaq0Spirale di Fermat

• mwaq8Elicoidi

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikimedia Commons

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• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su spirale

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Spiral, su MathWorld, Wolfram Research.

• mwary(EN) Fermat's spiral on Mathworld, su mathworld.wolfram.com.

• mwarg(ES) La Espiral de Alberto Durero, su diegovelazquez.110mb.com.